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確率変数の期待値と分散

この記事の目次 5項目

期待値

確率変数 X X に対して、期待値は E[X] E[X] という関数で表記されます。（Eはexpendの略です。）
以下、確率変数 X X が離散型変数と連続型変数の場合に分けてご紹介します。

離散型変数の場合

サイコロの目やコインの表裏など、離散型の値が確率変数となる場合を考えます。
ある事象 x x が起こる確率を P[X=x] P[X=x] とすると、期待値 E[X] E[X] は以下で定義されます。

E[X]=∑x∈XxP[X=x] E[X]=\sum_{x \in {X}} xP[X=x]

例としてサイコロの出る目の期待値を計算しましょう。
確率変数 X X は、以下となります。

X={1,2,⋯ ,6} X = \{ 1,2,\cdots,6 \}

次に、各事象が起こる確率は以下となります。

P[X=1]=P[X=2]=⋯=P[X=6]=16 P[X=1]=P[X=2]=\cdots=P[X=6]=\frac{1}{6}

これより、期待値 E[X] E[X] を算出します。

E[X]=∑x∈XxP[X=x]=1×16+2×16+⋯6×16=3.5\begin{array}{rcl} E[X]&=&\sum_{x \in {X}} xP[X=x] \\ &=&1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots 6 \times \frac{1}{6} \\ &=&3.5 \end{array}



従って、サイコロの出る目の期待値は 3.5 3.5 となります。

連続型変数の場合

地震の発生間隔や電池の寿命など、連続型の値が確率変数となる場合を考えます。
ある事象 x x が起こる確率を f(x) f(x) とすると、期待値 E[X] E[X] は以下で定義されます。

E[X]=∫x∈Xxf(x)dx E[X]=\int_{x \in {X}} xf(x)dx

例としての地震の発生間隔の期待値を計算しましょう。
確率変数 X X を発生間隔とすると、以下となります。

X:=(0,  +∞) X := (0,\;+\infty )

次に、事象 x∈X x \in X が起こる確率は以下となります。

f(x)=1120e−1120x f(x) = \frac{1}{120}e^{-\frac{1}{120}x}

この f(x) f(x) は確率密度関数と呼ばれます。

これより、期待値 E[X] E[X] を算出します。

E[X]=∫x∈Xxf(x)dx=∫0+∞x⋅1120e−1120xdx=1120∫0+∞xe−1120xdx=1120⋅(−120){[xe−1120x]0+∞–∫0+∞e−1120xdx}=∫0+∞e−1120xdx=[–120e−1120x]0+∞=120\begin{array}{rcl} E[X]&=&\int_{x \in {X}} xf(x)dx \\ &=&\int_{0}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{120}e^{-\frac{1}{120}x} dx \\ &=&\frac{1}{120} \int_{0}^{+\infty} x e^{-\frac{1}{120}x} dx \\ &=&\frac{1}{120} \cdot (-120) \left\{ \left[ x e^{-\frac{1}{120}x} \right]_{0}^{+\infty} – \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{120}x} dx \right\} \\ &=&\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{120}x} dx \\ &=&\left[ – 120e^{-\frac{1}{120}x} \right]_{0}^{+\infty} \\ &=&120 \end{array}







従って、地震の発生間隔の期待値は 120 120 となります。

期待値の線形性

期待値は以下の線形性を満たします。
（ a,  b a,\;b は任意の実数、X,  Y X,\;Y は確率変数とします。）

E[aX+b]=aE[X]+b E[aX+b]=aE[X]+b

E[X+Y]=E[X]+E[Y] E[X+Y]=E[X]+E[Y]

分散と標準偏差

分散とは、データのバラツキの程度です。
確率変数 X X の分散は Var[X] Var[X] という関数で表記され、以下で定義されます。

Var[X]=E[(X−μ)2] Var[X]=E[(X-\mu)^2]

上式を展開してみましょう。

Var[X]=E[(X−μ)2]=E[X2−2μX+μ2]=E[X2]–2μE[X]+μ2=E[X2]–E[X]2\begin{array}{rcl} Var[X]&=&E[(X-\mu)^2] \\ &=&E[X^2-2 \mu X + {\mu}^2] \\ &=&E[X^2] – 2 \mu E[X] + {\mu}^2 \\ &=&E[X^2] – E[X]^2 \end{array}




以上より、分散 Var[X] Var[X] は E[X2]–E[X]2 E[X^2] – E[X]^2 と表記されることもあります。

また、標準偏差 σ \sigma は、以下で定義されます。

σ=Var[X] \sigma = \sqrt{Var[X]}